Analogs of S.N. Bernstein and V.I. Smirnov inequalities for harmonic polynomials

Гармонические отображения и, в частности, гармонические полиномы находят приложения во многих задачах прикладной математики, математической физики, механики и электротехники. Это связано с ключевой ролью, которую функции играют краевых физики. используются при описании плоских гармонических векторных полей гидродинамике, теории жидких кристаллов, плоского потенциала. Оценки полиномов их производных применяются разработке неравномерных сеток триангуляций вычислительных схемах математическом моделировании. В середине двадцатого столетия советскими математиками С.Н. Бернштейном В.И. Смирновым были доказаны результаты из области дифференциальных неравенств, связывающих многочлены $P(z)=a_n z^n+ a_{n-1} z^{n-1}+ \dots a_1 z+ a_0$ комплексной плоскости $\mathbb{C}$ производные $P'(z)$. Данная тематика сохраняет актуальность, о чем свидетельствует большое число посвященных ей новых публикаций российских зарубежных математиков. настоящей работе результаты, обобщающие неравенства Бернштейна Смирнова на случай многочленов $F=H+\overline G,$ где $H, G$ - аналитические многочлены. частности получены условия типа мажорирующих неравенств единичной окружности, позволяющие связать аналитических антианалитических частей многочленов, все нули которых расположены единичном круге. Доказательства основных результатов помощью топологического аналога известного функций принципа аргумента, позволяющего свести некоторые задачи к аналитическому случаю. Из полученных следуют классические случае многочленов. Доказанные теоремы проиллюстрированы примером, демонстрирующим точность сформулированных нами условий оценок. Harmonic mapings and, in particular, harmonic polynomials find applications many problems of mathematics, mathematical physics, mechanics and electrical engineering. This is due to the key role that functions play boundary value physics. are used describe plane vector fields hydrodynamics, theory liquid crystals, potential. Estimates their derivatives development non-uniform grids triangulations computational schemes. In middle twentieth century, Soviet mathematicians S.N. Bernstein V.I. Smirnov proved results several differential inequalities connecting $P(z) = a_n z^n + z^{n-1} z complex derivatives. topic remains important, as evidenced by large number new publications Russian foreign mathematicians. this paper, we generalize for case $F H \overline where analytic polynomials. conditions type majorizing on unit circle obtained, which make it possible estimate antianalytic parts polynomials, all whose zeros located disk. The proofs main obtained using a topological analogue principle argument known functions, makes reduce some case. classical follow from current paper. theorems illustrated an example demonstrates accuracy estimates formulated us.